[Ebook] Compendio di Matematica per l’Economia

Indice

Prefazione dell’autore alla seconda edizione

I Funzioni di una variabile

1 Richiami su alcuni concetti di base

1.1 Insiemi

1.2 I numeri

1.3 Sottoinsiemi importanti di R

1.4 Funzioni

1.4.1 Funzioni elementari

1.4.2 Funzioni implicite

1.5 Funzioni invertibili

1.5.1 Funzioni monotone e invertibilità

1.5.2 Forme implicite e invertibilità

1.6 Funzioni composte

1.7 Funzione potenza

1.8 Funzioni esponenziale e logaritmo

2 Calcolo differenziale

2.1 Tasso (istantaneo) di variazione per funzioni lisce

2.2 Alcune applicazioni della derivata

2.3 Un esempio: la strategia di una grande azienda

2.3.1 I dati del problema

2.3.2 L’obiettivo dell’azienda

2.3.3 Procedere “per tentativi”: un senso d’insicurezza e frustrazione

2.3.4 Verso la nozione di derivata

2.4 La derivata

2.4.1 Punti interni

2.4.2 Retta secante il grafico di una funzione liscia e rapporto incrementale

2.4.3 Retta tangente e limite del rapporto incrementale

2.4.4 La definizione di derivata in un punto

2.5 Derivate delle funzioni elementari

2.5.1 Derivata della funzione costante

2.5.2 Derivata della funzione identica

2.5.3 Derivata della funzione affine (retta)

2.5.4 Derivata della funzione quadrato

2.5.5 Derivata della funzione cubo

2.5.6 Derivata della funzione potenza a esponente naturale

2.5.7 Derivata della funzione potenza a esponente reale

2.5.8 Derivata delle funzioni esponenziale e logaritmo naturale

2.6 Regole di derivazione

2.6.1 Derivata del prodotto costante × funzione

2.6.2 Derivata della somma di funzioni

2.6.3 Derivata del prodotto di funzioni

2.6.4 Derivata del reciproco di una funzione

2.6.5 Derivata del rapporto tra funzioni

2.6.6 Derivata della funzione composta

2.7 Tabelle riassuntive

2.8 Esempi ed esercizi

2.9 Derivata seconda

3 Approfondimenti

3.1 Approssimazione locale di funzioni

3.1.1 Il differenziale

3.1.2 Il polinomio di Taylor

3.2 Derivata e monotonia

3.2.1 Condizioni di monotonia

3.2.2 Esempi

3.2.3 Studio del segno della derivata

3.3 Limiti

3.3.1 L’approccio intuitivo

3.3.2 Punti di accumulazione

3.3.3 La definizione di limite

3.4 Funzioni continue

3.4.1 Continuità, monotonia e invertibilità

3.4.2 Continuità e derivabilità

4 Applicazioni economiche

4.1 Il concetto di marginalità in economia

4.1.1 Costo marginale

4.1.2 Prodotto marginale

4.1.3 Ricavo e profitto marginale

4.1.4 Utilità marginale

4.1.5 Il differenziale in economia

4.2 Tassi di crescita

4.2.1 Tasso medio di crescita

4.2.2 Tasso istantaneo di crescita

4.2.3 Capitalizzazione continua e tasso d’interesse istantaneo

4.2.4 Derivata logaritmica e tasso istantaneo di crescita

4.3 Elasticità di una funzione

4.3.1 Elasticità intervallare

4.3.2 Elasticità puntuale

4.3.3 L’elasticità puntuale della curva di domanda

4.3.4 Derivata logaritmica ed elasticità puntuale

5 Calcolo integrale

5.1 Integrale indefinito

5.1.1 La costante di integrazione

5.1.2 Integrazione e regola della catena

5.1.3 Integrazione per sostituzione

5.1.4 Integrazione per parti

5.2 Integrale definito

5.2.1 Somme di Riemann

5.2.2 Proprietà dell’integrale definito

5.3 Teorema fondamentale del calcolo integrale

5.4 Applicazioni economiche

5.4.1 Flussi di cassa

5.4.2 Surplus del consumatore e del produttore

6 Ottimizzazione in una variabile

6.1 Cos’è un problema di ottimo?

6.1.1 Un esempio

6.1.2 Vincolo e restrizione

6.1.3 E il minimo?

6.1.4 Esistenza di massimi e minimi: alcuni esempi

6.1.5 Unicità del massimo e minimo globali

6.2 Massimi e minimi assoluti (globali) e relativi (locali)

6.2.1 Massimi e minimi assoluti

6.2.2 Massimi e minimi relativi

6.2.3 Relazione fra problemi di massimo e problemi di minimo

6.3 Esistenza del massimo e minimo assoluto

6.4 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine

6.5 Metodo diretto per la ricerca di estremi assoluti

6.6 Studio del segno della derivata seconda per la ricerca di estremi relativi interni

6.6.1 Condizioni sufficienti del secondo ordine

6.6.2 Punti estremi e polinomio di Taylor

6.6.3 Un metodo per gli estremi relativi

7 Raffinamenti e applicazioni economiche

7.1 Funzioni obiettivo concave (convesse)

7.1.1 Definizione e caratterizzazione della concavità/convessità

7.1.2 L’ipotesi di concavità in economia

7.1.3 Concavità/convessità e ottimizzazione: unicità del punto estremo assoluto

7.2 Segno della derivata prima e punti estremi

7.2.1 Studio dei punti di frontiera

7.2.2 Ottimizzazione su insiemi non limitati

7.3 Un’applicazione economica: la massimizzazione del profitto

7.3.1 Concorrenza perfetta

7.3.2 Impresa monopolistica

7.3.3 Un metodo unificato per risolvere problemi di massimo profitto

7.3.4 Esempi ed esercizi

7.4 Un metodo generale di riepilogo

II Funzioni di più variabili

8 Vettori e funzioni di più variabili

8.1 Punti nello spazio euclideo: i vettori

8.2 Operazioni fra vettori

8.2.1 Somma di vettori

8.2.2 Moltiplicazione scalare

8.2.3 Prodotto scalare

8.3 Norma, versori e distanza euclidea

8.4 Sottoinsiemi particolari di Rn

8.4.1 Elementi di topologia

8.4.2 Insiemi convessi

8.5 Funzioni reali di n variabili

8.5.1 Esempi economici

8.5.2 Campi di esistenza

8.5.3 Funzioni di due variabili e loro grafico

9 Matrici e loro proprietà

9.1 Definizione di matrice

9.2 Operazioni fra matrici

9.2.1 Somma di matrici

9.2.2 Moltiplicazione per uno scalare

9.2.3 Prodotto fra matrici

9.2.4 Matrice trasposta

9.3 Matrici particolari

9.4 Matrici, sistemi lineari e funzioni (vettoriali) lineari

9.4.1 Sistemi di equazioni lineari

9.4.2 Funzioni vettoriali

9.4.3 Funzioni lineari

9.4.4 Matrici non singolari e funzioni lineari invertibili

9.4.5 Matrici quadrate e matrice inversa

9.5 Il determinante

9.5.1 Costruzione del determinante

9.5.2 Interpretazione grafica del determinante

9.5.3 Proprietà del determinante

9.5.4 Calcolo della matrice inversa

9.5.5 Rango di una matrice

10 Calcolo differenziale in più variabili

10.1 Derivata e differenziale

10.1.1 Derivate parziali

10.1.2 Il differenziale

10.1.3 Approssimazione lineare e differenziale

10.2 Derivata seconda e matrice Hessiana

10.3 Approssimazione non lineare

10.3.1 Forme quadratiche

10.3.2 Forme quadratiche definite da matrici Hessiane

10.3.3 Il polinomio di Taylor

10.4 Aspetti peculiari delle funzioni differenziabili

10.4.1 Funzione composta e regola della catena

10.4.2 Derivata direzionale

10.4.3 Gradiente e direzione di massima pendenza

III Ottimizzazione

11 Ottimizzazione libera

11.1 Massimi e minimi assoluti e relativi

11.2 Caratterizzazione dei punti estremi interni: condizioni necessarie del primo ordine

11.3 Punti estremi interni e polinomio di Taylor

11.4 Forme quadratiche

11.4.1 Curvatura delle forme quadratiche di due variabili

11.4.2 Natura delle forme quadratiche

11.4.3 Segno della matrice che definisce una forma quadratica

11.5 Condizioni sufficienti del secondo ordine

11.6 Funzioni obiettivo concave (convesse)

11.6.1 Definizione di concavità/convessità

11.6.2 Caratterizzazione per funzioni differenziabili

11.6.3 Altre condizioni sufficienti

11.7 Concavità/convessità e punto estremo assoluto

12 Ottimizzazione vincolata I: vincoli di uguaglianza

12.1 Funzioni implicite

12.1.1 Curve di livello

12.1.2 Il Teorema della funzione implicita

12.1.3 Punti regolari e punti singolari

12.1.4 Curve di livello e gradiente

12.1.5 Funzioni implicite nel caso di n variabili

12.2 Il problema vincolato in due variabili

12.2.1 Interpretazione geometrica dei punti di ottimo vincolato

12.2.2 Metodo per sostituzione

12.2.3 Il Teorema di Lagrange in due variabili

12.2.4 Il moltiplicatore di Lagrange

12.2.5 Metodo del Lagrangiano per problemi con vincolo compatto

12.3 Il problema vincolato in n variabili

12.3.1 Vincoli definiti da più uguaglianze

12.3.2 Vincoli regolari

12.3.3 Il Teorema di Lagrange in n variabili

13 Ottimizzazione vincolata II: vincoli di disuguaglianza

13.1 Definizione del problema

13.2 Vincoli espressi da disuguaglianze

13.2.1 Vincoli convessi

13.2.2 Frontiera del vincolo e gradiente

13.2.3 Qualificazione dei vincoli attivi

13.3 Punti di Kuhn-Tucker

13.3.1 Vincoli definiti da una sola disuguaglianza

13.3.2 Vincoli definiti da m disuguaglianze

13.3.3 Un esempio in una sola variabile

13.3.4 Il metodo e alcuni esempi

14 Applicazioni economiche

14.1 Funzioni di n variabili in economia

14.1.1 Ordine parziale in Rn e monotonia delle funzioni di n variabili

14.1.2 L’ipotesi di concavità in economia

14.2 Funzioni implicite in economia

14.2.1 Isoquanti e saggio marginale di sostituzione

14.2.2 Preferenze, funzione di utilità e curve di indifferenza

14.2.3 Elasticità di sostituzione

14.2.4 Statica comparata: l’equilibrio di mercato

14.3 Massimizzazione del profitto

14.3.1 Concorrenza perfetta

14.3.2 Discriminazione del prezzo da parte di un monopolista

14.4 Il problema del consumatore

14.4.1 Non sazietà nei consumi e soluzione standard

14.4.2 Il vincolo di bilancio

14.4.3 Esempi ed esercizi

14.5 Ancora sulla produzione ottima

14.5.1 Vincolo sui costi

14.5.2 Minimizzazione dei costi

14.6 Funzione valore e moltiplicatore di Lagrange

Soluzioni degli esercizi

Bibliografia
Indice analitico