Il presente volume è destinato agli studenti delle facoltà di Economia, Scienze statistiche e Ingegneria, che devono sostenere l’esame di Statistica generale, nonché quello di Calcolo delle probabilità. Il testo è suddiviso in due parti.
La prima, Probabilità e Statistica, offre una panoramica sintetica ma esaustiva degli argomenti e dei concetti fondamentali della materia. In particolare, vengono affrontati elementi di calcolo delle probabilità, la teoria delle variabili aleatorie, in generale, e delle variabili aleatorie discrete e continue (utilizzate come modelli di processi produttivi), in particolare. Segue poi lo studio sperimentale delle variabili aleatorie, nonché lo studio dei principali strumenti di statistica induttiva: stima, test d’ipotesi parametrici e non parametrici. Chiudono le tecniche statistiche utilizzate nel controllo di processo.
Ad integrazione dei capitoli sono stati riportati numerosi esempi su fogli di lavoro in Excel.

La seconda parte del volume, Esercizi svolti di Probabilità e Statistica, è destinata a preparare lo studente alla prova scritta di Statistica e Calcolo delle probabilità, offrendo una vasta selezione di esercizi svolti e commentati. Ogni esercizio è preceduto da un momento di ripasso degli argomenti: brevi richiami alla teoria precedono lo svolgimento e il commento di ogni esercizio. Tra questi, alcuni costituiscono la riproduzione di questi effettivamente somministrati nel corso degli anni in diversi atenei (le cosiddette ‘prove storiche‘), ma la maggior parte sono elaborazioni originali con diverso grado di difficoltà.
Al fine di rafforzare la preparazione in previsione della prova orale, in questa parte sono poi proposti, per ogni argomento, una serie di domande a risposta multipla e test di verifica (vero/falso).
Il testo, per il sapiente accostamento di esempi applicativi agli argomenti della teoria e per la chiarezza con cui sono esposti i concetti fondamentali, costituisce, dunque, uno strumento originale e utilissimo per la preparazione dell’esame di Statistica e Calcolo delle probabilità.

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Probabilità e statistica

Teoria

1 Elementi di calcolo delle probabilità

1. Introduzione

2. Evoluzione storica della statistica

3. Eventi ed algebra di Boole

3.1 Unione (somma logica)

3.2 Negazione

3.3 Intersezione (prodotto logico)

3.4 Partizione di

4. Definizioni alternative della probabilità

4.1 Definizione classica

4.2 Definizione frequentista

4.3 Definizione soggettivista

5. Assiomatizzazione del calcolo delle probabilità

6. Probabilità condizionata

6.1 Albero degli eventi

6.2 Affidabilità

7. Partizione di eventi e regola di Bayes

8. Teorema di Bayes

9. Richiami di calcolo combinatorio

2 Teoria delle variabili aleatorie

1. Introduzione

2. Variabili aleatorie discrete e continue

2.1 Funzione di ripartizione

2.2 Funzione di rischio

3. Variabili aleatorie multivariate

3.1 Variabili aleatorie marginali e condizionate

3.2 Indipendenza tra variabili aleatorie

4. Trasformazioni di variabili aleatorie

5. Valore medio di variabili aleatorie

5.1 Valore medio di una v.a. multivariata

5.2 Proprietà del valore medio

5.3 Valori medi condizionati

6. Moda e mediana di variabili aleatorie

7. Varianza di variabili aleatorie

7.1 Proprietà della varianza

7.2 Varianza condizionata

8. Asimmetria e curtosi di variabili aleatorie

8.1 Asimmetria

8.2 Curtosi

9. Momenti di variabili aleatorie

9.1 Momenti r – esimi

9.2 Momenti r – esimi rispetto al valore medio

9.3 Momenti r – esimi standardizzati

10. Funzione generatrice dei momenti

11. Covarianza e coefficiente di correlazione lineare

11.1 Covarianza

11.2 Coefficiente di correlazione

12. Analisi della dipendenza e regressione

12.1 Metodo dei minimi quadrati

12.2 Indice R2 di determinazione lineare

13. Disuguaglianza di Chebyshev

14. Criteri di convergenza di successioni di variabili aleatorie

15. Modelli per variabili aleatorie discrete e continue

Utilizzo dei fogli elettronici in statistica

Retta di regressione

3 Modelli per variabili aleatorie discrete

1. Introduzione

2. La variabile aleatoria uniforme discreta

3. La variabile aleatoria di Bernoulli

4. La variabile aleatoria binomiale

5. La variabile aleatoria ipergeometrica

6. La variabile aleatoria geometrica

7. La variabile aleatoria binomiale negativa

8. La variabile aleatoria di Poisson

Utilizzo dei fogli elettronici in statistica

Variabile aleatoria binomiale

Variabile aleatoria ipergeometrica

Variabile aleatoria di Poisson

4 Modelli per variabili aleatorie continue

1. Introduzione

2. La variabile aleatoria uniforme continua

3. La variabile aleatoria esponenziale negativa

4. La variabile aleatoria Gamma

5. La variabile aleatoria normale

5.1 Utilizzo della Tavola 1 in Appendice

6. Variabili aleatorie dedotte dalla normale: chi - quadrato, t di Student, F di Fisher, lognormale

6.1 La variabile aleatoria chi - quadrato

6.2 La variabile aleatoria t di Student

6.3 La variabile aleatoria F di Fisher

6.4 La variabile aleatoria lognormale

7. La variabile aleatoria normale bivariata

8. Leggi dei grandi numeri

8.1 Leggi deboli dei grandi numeri

8.2 Leggi forti dei grandi numeri

9. Teorema limite centrale

Utilizzo dei fogli elettronici in statistica

Variabile aleatoria esponenziale negativa

Variabile aleatoria normale standardizzata

Variabile aleatoria chi-quadrato

Variabile aleatoria t di Student

Variabile aleatoria F di Fisher

5 Studio sperimentale di variabili aleatorie. Distribuzioni campionarie

1. Introduzione

2. Campioni casuali semplici con e senza ripetizione

3. Altre procedure di campionamento

3.1 Campionamento probabilistico

3.2 Campionamento non probabilistico

4. Statistiche campionarie e distribuzioni campionarie

4.1 Distribuzione della media campionaria

4.2 Distribuzione della varianza campionaria

4.3 Distribuzione delle differenze delle medie campionarie

4.4 Distribuzione della proporzione (o frequenza) campionaria

4.5 Distribuzione delle differenze delle proporzioni campionarie

4.6 Distribuzione del coefficiente di correlazione campionario

5. Gli errori

6 Teoria della stima

1. Introduzione

2. Proprietà ottimali di uno stimatore

2.1 Correttezza

2.2 Consistenza

2.3 Efficienza

2.4 Sufficienza

2.5 Normalità asintotica

3. Metodi di stima

3.1 Metodo dei minimi quadrati

3.2 Metodo dei momenti

3.3 Metodo della massima verosimiglianza

4. Intervalli di confidenza e determinazione della numerosità del campione

4.1 Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza nota

4.2 Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza non nota

4.3 Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza nota

4.4 Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza non nota

4.5 Intervallo di confidenza per la proporzione di una popolazione normale

4.6 Intervallo di confidenza per la differenza tra le proporzioni di due popolazioni normali

4.7 Intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale

4.8 Intervallo di confidenza per il rapporto tra le varianze di due popolazioni normali

5. Stima dei coefficienti di regressione

6. Metodo Monte Carlo

6.1 Numeri pseudo - casuali

6.2 Applicazione del metodo Monte Carlo

Utilizzo dei fogli elettronici in statistica

Varianza campionaria corretta

Intervallo di confidenza

7 Test delle ipotesi statistiche. Test parametrici

1. Introduzione

2. I test statistici

3. Test sulla media di una popolazione con varianza nota. Test normale

4. Test sulla media di una popolazione con varianza non nota. Test t di Student

5. Test sulla varianza di una popolazione. Test chi - quadrato

6. Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se sono note le varianze

Test normale

7. Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se non sono note le varianze. Test t di Student

8. Test sulla differenza tra medie per campioni appaiati. Test t di Student

9. Test sul rapporto tra varianze. Test F di Fisher

10. Analisi della varianza (Anova). Test F di Fisher

11. Test sul coefficiente di correlazione. Test t di Student

12. Test sui coefficienti di regressione

Utilizzo dei fogli elettronici in statistica

Test t: due campioni accoppiati per medie

Analisi della varianza

8 Test non parametrici

1. Introduzione

2. Test su frequenze. Test binomiale e test normale

2.1 Test binomiale

2.2 Test normale

3. Test sulla differenza tra tendenze centrali. Test della mediana

4. Test sulla differenza tra tendenze centrali per campioni appaiati. Test dei segni

5. Test sulla differenza tra frequenze

6. Test sulla differenza tra frequenze per campioni appaiati. Test di McNemar

7. Test sulla indipendenza. Test chi - quadrato e test esatto di Fisher

7.1 Test chi - quadrato

7.2 Test esatto di Fisher

9 Controllo della qualità

1. Introduzione

1.1 Regola del tre - sigma e errori di I e II tipo

2. Carte di controllo per variabili

2.1 Carta di controllo X

2.2 Carta di controllo S

3. Carte di controllo per attributi

3.1 Carta di controllo p

3.2 Carta di controllo c

4. Carte di controllo CuSum

Probabilità e statistica

Esercizi

1 Elementi di calcolo delle probabilità

Sezione Prima: Insiemi e probabilità

Teoria della probabilità

Prova

Estrazione

Evento

Spazio campione

Eventi e insiemi

Unione (somma logica) di eventi

Negazione di eventi

Intersezione (prodotto logico) di eventi

Partizione di Ω

Definizione classica di probabilità

Definizione frequentista di probabilità

Definizione soggettivista di probabilità

Assiomatizzazione del calcolo delle probabilità

Probabilità condizionata

Albero degli eventi

Affidabilità

Regola di Bayes (o regola della fattorizzazione)

Teorema delle probabilità totali

Teorema di Bayes

Sezione Seconda: Richiami di calcolo combinatorio

Disposizioni senza ripetizione

Disposizioni con ripetizione

Permutazioni

Combinazioni senza ripetizione

Combinazioni con ripetizione

Prove scritte assegnate

Quesiti a scelta multipla

Risposte

Ulteriori quesiti a scelta multipla

Test di verifica (Vero/Falso)

2 Teoria delle variabili aleatorie

Sezione Prima: Variabili aleatorie

Variabile aleatoria

Variabile aleatoria discreta

Variabile aleatoria continua

Funzione di ripartizione

Funzione di rischio

Sezione Seconda: Variabili aleatorie multivariate

Variabili aleatorie multivariate

Variabile aleatoria discreta multivariata

Variabile aleatoria continua multivariata

Variabili aleatorie marginali

Variabili aleatorie condizionate

Distribuzione doppia: caso discreto

Indipendenza tra variabili aleatorie

Trasformazioni di variabili aleatorie

Sezione Terza: Momenti di variabili aleatorie

Valore medio di variabili aleatorie

Valore medio di una v.a. multivariata

Valori medi condizionati

Moda di variabili aleatorie

Mediana di variabili aleatorie

Varianza di variabili aleatorie

Varianza condizionata

Asimmetria di variabili aleatorie

Curtosi di variabili aleatorie

Momenti di variabili aleatorie

Momenti r – esimi

Momenti r – esimi rispetto al valore medio

Momenti r – esimi standardizzati

Funzione generatrice dei momenti

Sezione Quarta: Relazioni tra variabili aleatorie

Covarianza

Combinazione lineare di variabili aleatorie

Coefficiente di correlazione

Analisi della regressione

Retta di regressione

Metodo dei minimi quadrati

Indice di determinazione lineare

Disuguaglianza di Chebyshev

Prove scritte assegnate

Quesiti a scelta multipla

Risposte

Ulteriori quesiti a scelta multipla

Test di verifica (Vero/Falso)

3 Modelli per variabili aleatorie

Sezione Prima: Variabili aleatorie discrete

Variabile aleatoria uniforme discreta

Variabile aleatoria di Bernoulli

Variabile aleatoria binomiale

Variabile aleatoria ipergeometrica

Variabile aleatoria geometrica

Variabile aleatoria binomiale negativa

Variabile aleatoria di Poisson

Sezione Seconda: Variabili aleatorie continue

Variabile aleatoria uniforme continua

Variabile aleatoria esponenziale negativa

Variabile aleatoria Gamma

Variabile aleatoria normale

Variabile aleatoria normale standardizzata

Variabile aleatoria chi - quadrato

Variabile aleatoria t di Student

Variabile aleatoria F di Fisher

Variabile aleatoria normale bivariata

Successioni di variabili aleatorie

Convergenza in distribuzione

Convergenza in probabilità

Convergenza in media quadratica

Convergenza quasi certa

Leggi dei grandi numeri

Teorema limite centrale

Teorema limite centrale (De Moivre - Laplace)

Applicazioni del teorema limite centrale

Prove scritte assegnate

Quesiti a scelta multipla

Risposte

Ulteriori quesiti a scelta multipla

Test di verifica (Vero/Falso)

4 Studio sperimentale di variabili aleatorie. Distribuzioni campionarie

Sezione Prima: Universo dei campioni

Campionamento

Campionamento casuale semplice

Campioni ordinati e non ordinati

Universo dei campioni

Sezione Seconda: Distribuzioni campionarie

Statistiche e parametri

Distribuzione campionaria

Distribuzione della media campionaria

Distribuzione della varianza campionaria

Distribuzione delle differenze delle medie campionarie

Distribuzione della proporzione (o frequenza) campionaria

Distribuzione della differenza delle proporzioni campionarie

Distribuzione del coefficiente di correlazione campionario

Quesiti a scelta multipla

Risposte

Ulteriori quesiti a scelta multipla

Test di verifica (Vero/Falso)

5 Teoria della stima

Sezione Prima: Stimatori e proprietà degli stimatori

Stimatore

Teoria della stima

Proprietà ottimali di uno stimatore

1. Correttezza

2. Consistenza

3. Efficienza

4. Sufficienza

5. Normalità asintotica

Sezione Seconda: Metodi di costruzione degli stimatori

1. Metodo dei minimi quadrati

2. Metodo dei momenti

3. Metodo della massima verosimiglianza

Sezione Terza: Intervalli di confidenza

Intervallo di confidenza

1. Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza nota

2. Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con varianza non nota

3. Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza nota

4. Intervallo di confidenza per la differenza tra le medie di due popolazioni normali con varianza non nota

5. Intervallo di confidenza per la proporzione di una popolazione normale

6. Intervallo di confidenza per la differenza tra le proporzioni di due popolazioni normali

7. Intervallo di confidenza per la varianza di una popolazione normale

8. Intervallo di confidenza per il rapporto tra le varianze di due popolazioni normali

9. Intervalli di confidenza per i coefficienti di regressione

Prove scritte assegnate

Quesiti a scelta multipla

Risposte

Test di verifica (Vero/Falso)

6 Test delle ipotesi statistiche. Test parametrici

Sezione Prima: Test sulla media di una popolazione con varianza nota. Test normale

Test statistico

Test parametrici e test non parametrici

Regione di accettazione

Regione critica

Probabilità dell’errore del I tipo (α)

Probabilità dell’errore del II tipo (β)

Livello di significatività del test

Test sulla media di una popolazione normale con varianza nota

Sezione Seconda: Test sulla media di una popolazione con varianza non nota. Test t di Student

Test

Sezione Terza: Test sulla varianza di una popolazione

Test chi - quadrato

Test

Sezione Quarta: Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se sono note le varianze. Test normale

Test

Sezione Quinta: Test sulla differenza tra le medie di due popolazioni se non sono note le varianze. Test t di Student

Test

Sezione Sesta: Test sulla differenza tra medie per campioni appaiati. Test t di Student

Campioni appaiati

Test

Sezione Settima: Test sul rapporto tra varianze. Test F di Fisher

Test

Sezione Ottava: Analisi della varianza (Anova). Test F di Fisher

Analisi della varianza

Analisi della varianza ad un fattore

Analisi della varianza a due fattori

Sezione Nona: Test sul coefficiente di correlazione

Test t di Student e test normale

Test

Sezione Decima: Test sui coefficienti di regressione. Test F di Fisher

Test

Quesiti a scelta multipla

Risposte

Test di verifica (Vero/Falso)

7 Test non parametrici

Sezione Pr ima: Test su frequenze. Test binomiale e test normale

Test non parametr ici

Test su frequenze. Test binomiale e test nor male

1. Test binomiale

2. Test nor male

Sezione Seconda: Test sulla differenza tra frequenze. Test normale

Test

Sezione Terza: Test sulla differenza tra frequenze per campioni appaiati. Test di McNemar

Test

Sezione Quarta: Test sulla indipendenza

Test chi-quadrato e test esatto di Fisher

1. Test chi-quadrato

2. Test esatto di Fisher

Prove scritte assegnate

Quesiti a scelta multipla

Risposte

Test di verifica (Vero/Falso)

Appendice

Tavola 1

Tavola 2

Tavola 3
Tavola 4

L’esame di statistica e calcolo delle probabilità – 43/A

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